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I Domaines de Définition
On rappelle qu‘une
fraction rationnelle est définie sur l’intervalle sur lequel son
dénominateur ne
s’annule pas et qu’une racine carrée est définie sur l’intervalle sur
lequel son argument
est positif ou nul.
On obtient
donc :
a)
b) 
c)
d) 
e)
f)
( la somme de
deux termes strictement positifs est toujours strictement positive)
g)
II Monotonie
a)
On prend deux réels strictement positifs a et b tels
que a<b et on cherche à comparer f(a) et f(b) : 
donc la fonction est bien
strictement croissante sur 
.
b) Soient a et b deux
réels appartenant à l’intervalle 
tels que a<b :
or, on sait
que : b>a ; a>0.5 ; b>0.5 donc (b-a)>0 et (a+b)>1
on obtient ainsi
que : f(b) > f(a)
c’est-à-dire que f
est strictement croissante sur
Soient a et b deux
réels appartenant à l’intervalle 
tels que
a<b :
or, on sait
que : b>a ; a<0.5 ; b<0.5 donc (b-a)>0 et (a+b)<1
on obtient ainsi
que : f(b) < f(a)
c’est-à-dire que f
est strictement décroissante sur 
On peut donc
conclure que cette fonction admet un minimum en 0.5 qui vaut -0.25.
c)
Pour étudier les fonctions « valeurs
absolues », il faut pouvoir écrire directement la fonction sans le signe
« valeur absolu ».
On rappelle que : 
donc la fonction
s’écrit finalement :
Grâce au signe du
coefficient directeur, on peut trouver la monotonie de la fonction.
Donc h est
croissante sur 
et décroissante sur 
.
d) De la même manière
que précédemment grâce au signe du coefficient directeur, on en déduit que g
est strictement croissante sur R.
e)
La fonction suivante n’est pas décroissante sur tout
l’intervalle dessiné mais seulement sur une partie. On voit également qu’elle
admet un minimum en I.
